Encuentra la primera derivada de \(y = x^x\) para \(x \gt 0 \) con todos los pasos presentados.
Nota: la función \( y = x^{x}\) no es una función potencia de la forma \( x^{k}\) ni una función exponencial de la forma \( b^{x}\) y las fórmulas conocidas de
diferenciación de estas dos funciones
no se pueden utilizar. Necesitamos encontrar otro método para hallar la primera derivada de la función dada.
Dado:
\[ y = x^{x} \]
Toma el logaritmo natural (ln) de ambos lados de lo anterior:
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]
Usa las propiedades de las funciones logarítmicas \(\ln A^{b} = b \ln A\) en el lado derecho de la ecuación anterior y obtén:
\[ \ln y = x \ln x \]
Diferencia ambos lados de lo anterior con respecto a \(x\), usando la regla de la cadena en el lado izquierdo y la regla del producto en el derecho:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \]
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]
Simplifica el lado derecho:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]
Multiplica ambos lados por \(y\) y simplifica:
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]
Sustituye \(y\) por \(x^{x}\) para obtener la respuesta final:
\[
\boxed{\frac{dy}{dx} = x^{x}(\ln x + 1)}
\]
Encuentra la primera derivada de:
\[ f(x) = x^{2x} \]
\[ g(x) = (\sin x)^{x} \]
\[ h(x) = (x^2 + 1)^{x} \]
Respuestas a los Ejercicios Anteriores:
\[ f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \]
\[ g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \frac{x \cos x}{\sin x}\right) \]
\[ h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \]